Question

已知曲線C上的動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點(diǎn)E在直線l上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA，EB，切點(diǎn)為A、B．
（ⅰ）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）在直線l上是否存在一點(diǎn)E，使得△ABM為等邊三角形（M點(diǎn)也在直線l上）？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)知曲線C的方程x²=4y．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)E（a，-2），，由題設(shè)知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中點(diǎn)為，由此可知直線AB恒過一定點(diǎn)，并能求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（ⅱ）由（�。┲狝B中點(diǎn)，直線AB的方程為，當(dāng)a≠0時(shí)，AB的中垂線與直線y=-2的交點(diǎn)．若△ABM為等邊三角形，則，∴，解得a=±2，此時(shí)E（±2，-2），故滿足條件的點(diǎn)E存在，坐標(biāo)為E（±2，-2）．
解答：解：（Ⅰ）曲線C的方程x²=4y（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)E（a，-2），，
∵過點(diǎn)A的拋物線切線方程為，
∵切線過E點(diǎn)，∴，整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8可得AB中點(diǎn)為
又，
∴直線AB的方程為即，∴AB過定點(diǎn)（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中點(diǎn)，直線AB的方程為
當(dāng)a≠0時(shí)，則AB的中垂線方程為，
∴AB的中垂線與直線y=-2的交點(diǎn)∴
∵
若△ABM為等邊三角形，則，
∴，
解得a²=4，∴a=±2，此時(shí)E（±2，-2），
當(dāng)a=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不存在滿足條件的點(diǎn)E
綜上可得：滿足條件的點(diǎn)E存在，坐標(biāo)為E（±2，-2）．（15分）
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．