Question

已知曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足到定點(diǎn)A（-1，0）的距離與到定點(diǎn)B（1，0）距離之比為

2

（1）求曲線(xiàn)C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)M（1，2）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于兩點(diǎn)M、N，若|MN|=4，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足到定點(diǎn)A（-1，0）的距離與到定點(diǎn)B（1，0）距離之比為

2

，建立方程，化簡(jiǎn)可得曲線(xiàn)C的方程．
（2）分類(lèi)討論，設(shè)出直線(xiàn)方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離，利用勾股定理，即可求得直線(xiàn)l的方程．

解答：解：（1）由題意得|PA|=

2

|PB|…（2分）；
故

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

                    …（3分）；
化簡(jiǎn)得：x²+y²-6x+1=0（或（x-3）²+y²=8）即為所求．  …（5分）；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=1，
將x=1代入方程x²+y²-6x+1=0得y=±2，
所以|MN|=4，滿(mǎn)足題意．                                 …（8分）；
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx-k+2
由圓心到直線(xiàn)的距離d=2=

|3k-k+2|

1+k2

                    …（10分）；
解得k=0，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y=2．
綜上所述，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l的方程為：x=1或y=2．      …（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．