Question

已知曲線C上的動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點(diǎn)E在直線l上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA、EB，切點(diǎn)為A、B．直線AB是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，可得：動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線l'：y=-1的距離相等．利用拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是拋物線．
（II）設(shè)E（a，-2），設(shè)切線的切點(diǎn)為(x0，

x 2 0

4

)．由x²=4y得y=

x2

4

，利用導(dǎo)數(shù)可得y′=

x

2

，利用向量計(jì)算公式即可得出

x0

2

=

x 2 0 4 +2

x0-a

．解出x₀，即可得出切點(diǎn)A，B，進(jìn)而得到切線方程．

解答：解：（Ⅰ）∵動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，
∴動點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線l'：y=-1的距離相等．
∴曲線C是以F（0，1）為焦點(diǎn)，y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程的方程是：x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)E（a，-2），設(shè)切線的切點(diǎn)為(x0，

x 2 0

4

)．
由x²=4y得y=

x2

4

，∴y′=

x

2

，∴

x0

2

=

x 2 0 4 +2

x0-a

．
解得：x0=a±

a2+8

，
∴A(a+

a2+8

，

(a+ a2+8 )2

4

)，B(a-

a2+8

，

(a- a2+8 )2

4

)．
化簡直線AB方程得：y-2=

a

2

x，
∴直線AB必過定點(diǎn)（0，2）．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相切的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．