Question

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離大1．
（I）求曲線C的方程；
（II）過點(diǎn)F（2，0）且傾斜角為α(0＜α＜

π

2

)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明：|FP|-|FP|•cos2α為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離多1，可得動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離等于它到直線x=-2的距離，由此建立方程，即可求得曲線C的方程；
（II）如圖，作AC⊥l，BD⊥l，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，計(jì)算|FA|=

4

1-cosα

，|FB|=

4

1+cosα

，記m與AB的交點(diǎn)為E，則|FE|=|FA|-|AE|=

4cosα

sin2α

，從而|FP|=

|FE|

cosα

=

4

sin2α

，由此可得結(jié)論．

解答：（I）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離多1，即動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離等于它到直線x=-2的距離
∴

(x-2)2+y2

=|x+2|
兩邊平方（x-2）²+y²=（x+2）²
化簡(jiǎn)可得：y²=8x
（II）證明：如圖，作AC⊥l，BD⊥l，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B
則|FA|=|AC|=xA+

p

2

=|FA|cosα+4，解得|FA|=

4

1-cosα

同理|FB|=4-|FB|cosα，解得|FB|=

4

1+cosα

記m與AB的交點(diǎn)為E，則|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-

1

2

|AB|=

1

2

(

4

1-cosα

-

4

1+cosα

)=

4cosα

sin2α

∴|FP|=

|FE|

cosα

=

4

sin2α

故|FP|-|FP|•cos2α=

4

sin2α

(1-cos2α)=8
即FP|-|FP|•cos2α為定值，定值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線定義的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定曲線的方程．