Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為整數(shù)，且當時， 恒成立，其中為的導函數(shù)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增（2）2

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，根據(jù)a的大小討論導函數(shù)是否變號：若a≤0，導函數(shù)恒非負，為單調(diào)增區(qū)間；若a＞0，導函數(shù)符號變化，先負后正，對應(yīng)先減后增（2）分類變量得 ，再利用導數(shù)求最小值：在極小值點取最小值，根據(jù)極值定義得 及零點存在定理確定范圍 ，化簡最小值為，并確定其范圍為（2,3） ，因此可得正整數(shù)的最大值.

試題解析：（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增

若a＞0，則當x∈（-∞，lna）時，f′（x）=ex-a＜0；

當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增

（2）由于a=1，

令，，

令，在單調(diào)遞增，

且在上存在唯一零點，設(shè)此零點為，則

當時，，當時，

，

由，又

所以的最大值為2