Question

【題目】已知點，點在圓上運動，為線段的中點，則使△（為坐標原點）為直角三角形的點的個數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

設M（x，y），P（a，b），由于M是AP的中點，點B（6，0），故可由中點坐標公式得到a＝2x﹣6，b＝2y，又P（a，b）為圓x2+y2＝1上一點動點，將a＝2x﹣6，b＝2y代入x2+y2＝1得到M（x，y）點的坐標所滿足的方程，整理得點M的軌跡方程，使△（為坐標原點）為直角三角形,討論 分別為的情況即可.

設M（x，y），P（a，b）

由B（6，0），M是AP的中點

故有a＝2x﹣6，b＝2y

又P為圓上一動點，

∴（2x﹣6）2+（2y-4）2＝4，

整理得（x﹣3）2+＝1．

故AP的中點M的軌跡方程是（x﹣3）2+＝1．

△（為坐標原點）為直角三角形，若= ，以OA為直徑的圓的方程為 ，此時兩圓圓心距為 ,故兩圓相交，故M有兩個；若=，x=4與圓（x﹣3）2+＝1相切,這樣的M點有一個;若=，這樣的M點不存在，故使△（為坐標原點）為直角三角形的點的個數為3個

故選：C.