Question

【題目】已知是大于10的正整數(shù)，集合含有個(gè)元素，若集族滿足以下兩個(gè)條件，則稱它是“合適的”：

（1）對(duì)任意；

（2）對(duì)任意，集合中至多含有一個(gè)元素。

對(duì)任意正整數(shù)，試求最大正整數(shù)，使得存在一個(gè)包含個(gè)集合的合適的集族。

Answer 1

【答案】4

【解析】

所求的最大正整數(shù)。

取的兩個(gè)不互補(bǔ)的元子集，并令分別是的補(bǔ)集,從這四個(gè)集合中任取三個(gè)集合，由于總存在兩個(gè)集合互補(bǔ)，因此，這三個(gè)集合的交集為空集,

假設(shè)集族中包含的5個(gè)子集,5個(gè)子集中共有個(gè)元素,

1.若有1個(gè)元素出現(xiàn)5次，則其他元素至多出現(xiàn)2次，知5個(gè)子集中至多有

個(gè)元素，矛盾,

2.若有2個(gè)元素各出現(xiàn)4次，則此2個(gè)元素至少在3個(gè)子集中同時(shí)出現(xiàn)，矛盾,

3.若恰有1個(gè)元素出現(xiàn)4次，設(shè)出現(xiàn)3次的元素有個(gè)，則

,

ⅰ.當(dāng)時(shí)，至少有個(gè)元素各至少出現(xiàn)3次；

ⅱ.當(dāng)時(shí)，有1個(gè)元素出現(xiàn)4次，個(gè)元素出現(xiàn)3次,

4.若沒(méi)有元素出現(xiàn)4次，設(shè)出現(xiàn)3次的元素有個(gè),則

,

綜上，只有兩種情況：

①至少有個(gè)元素各至少出現(xiàn)3次；

②有一個(gè)元素出現(xiàn)4次，個(gè)元素各出現(xiàn)3次,

對(duì)于①，因5個(gè)子集中任3個(gè)子集的交集的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)1，故至少出現(xiàn)3次的元素個(gè)數(shù)，矛盾,

對(duì)于②，同理，由至少出現(xiàn)3次的元素個(gè)數(shù)，知且5個(gè)子集中任3個(gè)子集的交集恰為單元集，此10個(gè)單元集互不相同，但對(duì)出現(xiàn)4次的元素，其在4個(gè)單元集中都出現(xiàn)，矛盾,

故不存在包含5個(gè)集合的合適的集族,

綜上所述，所求的最大正整數(shù).