Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的方程是： ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于， 兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程可得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（2）法1：由圓的弦長(zhǎng)公式可得圓心到直線(xiàn)距離，由幾何關(guān)系可得直線(xiàn)的斜率為.

法2：設(shè)直線(xiàn)： （為參數(shù)），與圓的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用直線(xiàn)參數(shù)的幾何意義可得直線(xiàn)的斜率為.

法3：設(shè)直線(xiàn)： ，與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)公式可得直線(xiàn)的斜率為.

法4：設(shè)直線(xiàn)： ，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得圓心到直線(xiàn)距離，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式解方程可得直線(xiàn)的斜率為.

試題解析：

（1）曲線(xiàn)： ，即，

將， 代入得

曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（2）法1：由圓的弦長(zhǎng)公式及，得圓心到直線(xiàn)距離，

如圖，在中，易得，可知

直線(xiàn)的斜率為.

法2：設(shè)直線(xiàn)： （為參數(shù)），代入中得，整理得，

由得，即，

解得，從而得直線(xiàn)的斜率為.

法3：設(shè)直線(xiàn)： ，代入中得

，即，

由得，即，

解得直線(xiàn)的斜率為.

法4：設(shè)直線(xiàn)： ，則圓心到直線(xiàn)的距離為，

由圓的弦長(zhǎng)公式及，得圓心到直線(xiàn)距離，

所以，解得直線(xiàn)的斜率為.