Question

【題目】設(shè)函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；

（2）當(dāng)時，若存在，使成立，求實數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】

【試題分析】（1）先依據(jù)題設(shè)運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）先不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化與化歸，再夠 造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識分析求解：

（1）由已知得，，，

則，且，解之得，.

（2）當(dāng)時，.

又 =.

故當(dāng)，即時，.

“存在，使成立”等價于“當(dāng)時，有”，

又當(dāng)時，，，

問題等價于“當(dāng)時，有”.

當(dāng)時，在上為減函數(shù)，則 .

故；

②當(dāng)時， 在上的值域為.

（i）當(dāng)，即時，在上恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是 ，不合題意；

（ii）當(dāng)，即時，由的單調(diào)性和值域知.

存在唯一，使，且滿足

當(dāng)時，，為減函數(shù)；

當(dāng)時，，為增函數(shù).

所以 ，.

所以 ，與矛盾.

綜上，得的最小值為.