Question

【題目】如圖，已知圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱錐，為圓柱的一條母線，，為下底面圓的直徑，．

（Ⅰ）在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，求四棱錐體積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）存在，為上底面圓的圓心，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）畫(huà)出圖形，取上底面圓的圓心為，連接，，，，先證，再證平面即可；

（Ⅱ），然后利用不等式求出最值即可.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí)，平面．

如圖，取上底面圓的圓心為，連接，，，，

則，．

所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以．

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

故點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí)，平面；

（Ⅱ）在底面圓中，由得．

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四棱錐體積的最大值為．