Question

【題目】已知圓，圓心為，定點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，線段上一點(diǎn)N滿足，直線上一點(diǎn)Q，滿足.

(Ⅰ) 求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；

(Ⅱ) O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B. 當(dāng)且滿足時(shí)，求△OAB面積S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）直接根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義求出曲線的方程．

（Ⅱ）利用直線和曲線的位置關(guān)系建立方程組，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系式，進(jìn)一步求出參數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵

∴ N為的中點(diǎn)

∵

∴ QN為線段的中垂線

∴

∵

∴由橢圓的定義可知Q的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則，

∴.

∴點(diǎn)Q的軌跡C的方程為.

（Ⅱ）∵圓O與直線相切，

∴，即，

由，消去y整理得.

∵直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，

∴，

將代入上式，可得，

設(shè)，

則，

∴，

∴，

∴，

∵，解得.

滿足.

又，

設(shè)，則.

∴ ，

∴

故△OAB面積S的取值范圍為.