Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角

Answer 1

（I）見解析.（II）.

本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力．
（I）欲證PB⊥DM，可先證PB⊥平面ADMN，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PB與平面ADMN內(nèi)兩相交直線垂直，而AN⊥PB，AD⊥PB，滿足定理?xiàng)l件；
（II）取AD的中點(diǎn)G，連接BG、NG，得到 BG∥CD，從而BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等，根據(jù)線面所成角的定義可知∠BGN是BG與平面ADMN所成的角，在Rt△BGN中求出此角的正弦值即可．
解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823230728274357.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823230728352416.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，從而平面.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823230728461514.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以.
（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，
所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823230728430388.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以是與平面所成的角.
在中，.
故與平面所成的角是.