Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為．

（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，求點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）求出點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直線的方程，再用點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）思路一:圓錐曲線題型的一個基本處理方法是設(shè)而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時需要考慮轉(zhuǎn)化.
思路二:設(shè),然后用表示出的坐標(biāo).這種方法要注意直線的方程應(yīng)設(shè)為: ,若用點(diǎn)斜式,則運(yùn)算量大為增加.
此類題極易在運(yùn)算上出錯,需倍加小心.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知: ,所以線段的中點(diǎn)為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點(diǎn),又直線過坐標(biāo)原點(diǎn),
所以
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點(diǎn)到直線即的距離
（Ⅲ）法一:設(shè),則
由題意得:
設(shè)直線的斜率分別為,因為在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達(dá)定理得:
所以
,所以