Question

已知拋物線:的焦點(diǎn)為,、是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)、處的切線分別為、，且，與相交于點(diǎn).

(1) 求點(diǎn)的縱坐標(biāo)； 
(2) 證明：、、三點(diǎn)共線；

Answer 1

(1) -1；(2)只需證。

試題分析：(1)設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，
∵ 、分別是拋物線在點(diǎn)、處的切線，
∴直線的斜率，直線的斜率.            
∵ , ∴ , 得.  ①       3分
∵、是拋物線上的點(diǎn),
∴
∴ 直線的方程為,直線的方程為.
由 解得
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.        6分
(2) 證法1：∵ 為拋物線的焦點(diǎn)， ∴ .
∴ 直線的斜率為，
直線的斜率為.
∵        9分
∴.
∴、、三點(diǎn)共線.    13分
證法2：∵ 為拋物線的焦點(diǎn)， 
∴ . ∴，
.
∵ ,      9分
∴ .
∴、、三點(diǎn)共線.    13分

點(diǎn)評(píng)：向量法證明三點(diǎn)共線的常用方法：
（1）若；
（2）若，則A、B、C三點(diǎn)共線。