Question

【題目】若正整數(shù)數(shù)列，滿足：對任意，，都有恒成立，則稱數(shù)列，為“友好數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列，的通項公式分別為，，求證：數(shù)列，為“友好數(shù)列”；

（2）已知數(shù)列，為“友好數(shù)列”，且，求證：“數(shù)列是等差數(shù)列” 是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)錯位相減法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式進行求解即可；

（2）根據(jù)充分不必要條件的定義，結(jié)合友好數(shù)列的定義進行證明即可.

（1）因為數(shù)列，的通項公式分別為，，

所以有，

令

所以有，得：

所以，

而，因此有對任意，，都有

恒成立，所以數(shù)列，為“友好數(shù)列”；

（2）因為數(shù)列，為“友好數(shù)列”，所以對任意，，都有

恒成立，

因此有，得：

，

若數(shù)列是等差數(shù)列，則有，已知數(shù)列是正整數(shù)數(shù)列，因此有

，因此數(shù)列是等比數(shù)列；

若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，則有，顯然只有當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列，因此由數(shù)列是等差數(shù)列能推出數(shù)列是等比數(shù)列，但由數(shù)列是等比數(shù)列不一定能推出數(shù)列是等差數(shù)列，因此“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.