Question

正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點(diǎn).

(1)求證:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.

Answer 1

(1)詳見解析；（2）.

解析試題分析：(1)先根據(jù)題意找到BC中點(diǎn)O，證明，平面，從而以O(shè)為原點(diǎn)構(gòu)造出空間直角坐標(biāo)系.在寫出平面中相關(guān)向量坐標(biāo)以及的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積為0證明線線垂直，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上問可知平面的法向量即，再通過向量的夾角公式得到這兩個(gè)法向量的夾角余弦值，經(jīng)觀察可知即為二面角余弦值.從而得到本題的解.
試題解析：（1）取BC中點(diǎn)O,連AO,
∵為正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中點(diǎn)為,以O(shè)為原點(diǎn),,,的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/18/7/1hjq34.png" style="vertical-align:middle;" />,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,

則.
∴,
∵,.
∴,,∴面   
(2)設(shè)平面的法向量為,.
,∴,∴,,令,得為平面的一個(gè)法向量,由(1)知面,
∴為平面的法向量,,
經(jīng)檢驗(yàn)易知二面角的余弦值為.
考點(diǎn)：1.向量數(shù)量積表示垂直；2.平面的法向量；3.二面角.