Question

【題目】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA ⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC ⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點，F在SE上，且SF=2FE.

（Ⅰ）求異面直線AF與DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：AF⊥平面SBC；

（Ⅲ）設(shè)G為線段DE的中點，求直線AG與平面SBC所成角的余弦值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意可知DE∥AB，故∠FAB或其補角為異面直線AF與DE所成角；

（Ⅱ）由（I）知AF⊥SE，易證BC⊥AF，從而AF⊥平面SBC；

（Ⅲ）延長AG交BC于P點，連結(jié)PF. 由（II）知AF⊥平面SBC，所以PF為AP在平面SBC上的投影，故∠APF即為直線AG與平面SBC所成角

解（I）.連結(jié)BF.

在△ABC中，D，E分別是AC，BC的中點，

∴DE∥AB，

∴∠FAB或其補角為異面直線AF與DE所成角

由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點，得AE=

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AE.

在Rt△SAE中，SE=，可得

∵SA⊥底面ABC，∴.SA⊥BC，又BC⊥AE，

∴BC⊥平面SAE，

∴BC⊥SE，

∵

∴BF=

∴

即異面直線AF與DE所成角的余弦值。

（II）.由（I）知，∴AF⊥SE.

∵BC⊥平面SAE，所以BC⊥AF.

又SEBC=E，.AF⊥平面SBC.

（III）.延長AG交BC于P點，連結(jié)PF.

由（II）知AF⊥平面SBC，∴PF為AP在平面SBC上的投影，

∴∠APF即為直線AG與平面SBC所成角

∵G為線段DE的中點，

∴CP=2PE，又SF=2FE，

.∴

,

即直線AG與平面SBC所成角的余弦值為