Question

【題目】設(shè)拋物線： （）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為， ，且在第一象限，已知以為圓心， 為半徑的圓交于， 兩點(diǎn)（在的上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且直線： （）與拋物線相交于， 兩點(diǎn)，證明： 為定值；

（2）記直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，若與的面積比為3，證明：直線過(guò)點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得，寫出拋物線的方程，利用直線和拋物線相交，聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，計(jì)算，根據(jù)得證；（2）過(guò)作于，過(guò)作于，設(shè)， ，根據(jù)條件，由得可得，從而，即則與重合，所以，則直線過(guò)點(diǎn).

試題解析：

（1）∵，

∴，拋物線的方程為．

由得，

設(shè)， ，則，

∴，

∴，

∴為定值．

（2）與的面積比為．

過(guò)作于，過(guò)作于，設(shè)， ，

則， ，

由得，則，∴，

∴，

故直線的傾斜角為，易知，所以以為圓心， 為半徑的圓過(guò)點(diǎn)，則與重合，所以，則直線過(guò)點(diǎn)．