Question

【題目】已知橢圓E: 的焦點(diǎn)在 軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.
（1）當(dāng)t=4， 時(shí)，求△AMN的面積；
（2）當(dāng) 時(shí)，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng) 時(shí)，橢圓E的方程為 ，A點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

則直線AM的方程為 ．

聯(lián)立 并整理得，

解得 或 ，則

因?yàn)? ，所以

因?yàn)? ， ，

所以 ，整理得 ，

無實(shí)根，所以 ．

所以 的面積為

（2）

解：直線AM的方程為 ，

聯(lián)立 并整理得，

解得 或 ，

所以

所以

因?yàn)?

所以 ，整理得， ．

因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸，所以 ，即 ，整理得

解得

【解析】（1）求出t=4時(shí)，橢圓方程和頂點(diǎn)A，設(shè)出直線AM的方程，代入橢圓方程，求交點(diǎn)M，運(yùn)用弦長公式求得|AM|，由垂直的條件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，運(yùn)用三角形的面積公式可得△AMN的面積；（2）直線AM的方程為y=k（x+ ），代入橢圓方程，求得交點(diǎn)M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由橢圓的性質(zhì)可得t＞3，解不等式即可得到所求范圍．