Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一個(gè)自然數(shù)n，都有2ⁿ＞n²-2.

Answer 1

證明：(1)n=1,2,3時(shí)命題正確.

（2）n≥3時(shí)，假設(shè)n=k(k∈N且k≥3)命題正確，即2^k＞k²-2,當(dāng)n=k+1時(shí)就是證2^k+1＞(k+1)²-2成立.

欲證2^k+1＞(k+1)²-2,

即證2^k＞［(k+1)²-2］，

即證2^k＞(k²+2k-1)，因?yàn)?^k＞k²-2，

只要證k²-2≥(k²+2k-1)，

即證k²-2k-3≥0，即(k+1)(k-3)≥0，

從而知對(duì)于一切不小于3的自然數(shù)k上式成立，即原命題在n≥3(n∈N)時(shí)也成立.

由（1）、（2）知結(jié)論成立.