Question

【題目】如圖所示，拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0），其焦點(diǎn)為F，C上的一點(diǎn)M（4，m）滿(mǎn)足|MF|=4．

（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)E（﹣1，0）作不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)EA，EB分別與拋物線(xiàn)C和圓F：x2+（y﹣2）2=4相切于點(diǎn)A，B，試判斷直線(xiàn)AB是否經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 ，

∴|MF|=m+ =4，

由M（4，m）在橢圓上，

∴16=2pm，

∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，

∴拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y

（2）解：設(shè)EA：x=ky﹣1，聯(lián)立 ，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，

∵EA與C相切，

∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，

∴ ，求得 ，

設(shè)EB：x=ty﹣1，聯(lián)立 ，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，

∵EB與圓F相切，

∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即 ，

∴ ，求得 ，

∴直線(xiàn)AB的斜率 ，

可得直線(xiàn)AB的方程為 ，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F（0，2）

【解析】1、利用拋物線(xiàn)的定義可得m+ =4,點(diǎn)M（4，m）在橢圓上，所以16=2pm，即可求出p=4，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y。
2、首先聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，根據(jù)題意令△=0，求得k=﹣2，即得點(diǎn)A的坐標(biāo)；同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線(xiàn)AB的斜率 k AB的值，從而求出直線(xiàn)的方程，并可判斷其經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F（0，2）。