Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè),

①當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

②當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意恒成立．

（2）討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)

【解析】

（1）①將代入，求出切點(diǎn)及斜率，利用點(diǎn)斜式即可得切線方程；

②只需證時(shí)，對(duì)任意都成立，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證；
（2）只有一個(gè)極值點(diǎn)或三個(gè)極值點(diǎn)，令，當(dāng)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的圖象必穿過(guò)軸且只穿過(guò)一次，即為單調(diào)減函數(shù)或者極值同號(hào)，分類討論即可得解，同理可求當(dāng)有三個(gè)極值點(diǎn)時(shí)的情況.

解：（1），
①當(dāng)時(shí)，，
∴切線方程為；
②證明：要證對(duì)任意，，

只需證時(shí)，對(duì)任意都成立，
，

令得，
且時(shí)，單減，時(shí)，單增，
，
在上單增，
，
∴當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.
（2），，則
只有一個(gè)極值點(diǎn)或三個(gè)極值點(diǎn)，
令，當(dāng)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的圖象必穿過(guò)軸且只穿過(guò)一次，即為單調(diào)減函數(shù)或者極值同號(hào)，
（i）為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，在上恒成立，則，解得；
（ii）極值同號(hào)時(shí)，設(shè)為極值點(diǎn)，

則有解，則，
且，，
，
同理，
，

化簡(jiǎn)得，
，解得，
∴當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)有三個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，，同理可得，
綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn).