Question

（2013•湛江一模）如圖，已知點M₀（x₀，y₀）是橢圓C：

y2

2

+x2=1上的動點，以M₀為切點的切線l₀與直線y=2相交于點P．
（1）過點M₀且l₀與垂直的直線為l₁，求l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在定點T，使得以PM₀為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由．
（參考定理：若點Q（x₁，y₁）在橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，則以Q為切點的橢圓的切線方程是：

y1y

a2

+

x1x

b2

=1(a＞b＞0)．

Answer 1

分析：（1）先求切線的斜率，可得直線l₁的方程，確定l₁與y軸交點縱坐標，即可求得l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍；
（2）確定P的坐標，利用以PM₀為直徑的圓恒過點T，結(jié)合向量知識，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由橢圓得：y=

2(1-x2)

，y'=-2x(2-2x2)-

1

2

切線的斜率為：k=

-2x0

2-2x02

，
所以，直線l₁的方程為：y-y0=

2-2x02

2x0

(x-x0)，
所以l₁與y軸交點縱坐標為：y=

2-2x02

-

2-2x02

2

=

2-2x02

2

因為-1≤x₀≤1，所以，0≤x02≤1，0≤2-2x02≤2，
所以，當切點在第一、二象限時，l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍為：0≤y≤

2

2

，
則利用對稱性可知l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍為：-

2

2

≤y≤

2

2

．
（2）依題意，可得∠PTM₀=90°，設存在T（0，t），M₀（x₀，y₀）
由（1）得點P的坐標（

1-y0

x0

，2），
由

PT

•

M0T

=0可得（0-

1-y0

x0

，t-2）•（-x₀，t-y₀）=0，
∴1-y₀+（t-2）（t-y₀）=0，
∴y₀（1-t）+（t-1）²=0
∴t=1
∴存在點T（0，1）滿足條件．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生的運算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．