Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱，其中P為棱上的任意一點，設平面PAB與平面的交線為QR．

(1)求證：AB∥QR；

(2)若P為棱上的中點，求幾何體的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)由 可得AB//平面 ，利用線面平行性質定理可得結果；(2)由題意先明確平面，利用割補法求體積:幾何體QR-ABC的體積為.

（1）在直三棱柱中，

因為，平面.平面，

所以AB//平面.

因為平面PAB與平面的交線為QR，且平面PAB，

所以AB∥QR.

（2）在側面中，因為BC=2，，P為棱上的中點，

所以，

所以=∠PBC，所以，

即.

在直三棱柱中，平面ABC，

所以.

因為AB=BC=2，AC=，

所以，所以，

又，所以平面，

所以平面.

因為BC=2，.

所以

又，

所以，

因為，所以。

所以.

所以幾何體QR-ABC的體積為

，

法二：在側面中，因為BC=2，為棱上的中點，

則.

所以有，

所以，

則QR，RP，RC三線相互垂直.

又.

在△BPC中，由射影定理，可得

在△ABP中，由三角形相似，可得

則.

又.

則