Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，且， ， 是邊的中點(diǎn)．

（1）求證： 平面；

（2）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）：問當(dāng)為何值時(shí)，二面角余弦值為．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由平面得，再根據(jù)，可推出平面，再由及是邊的中點(diǎn)，可推出，從而可證平面；（2）在底面內(nèi)過點(diǎn)作直線， ，以， ， 所在直線分別為， ， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1） 可得是平面的一個(gè)法向量，再求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)二面角余弦值為，即可求得.

試題解析：（1）證明：∵平面

∴，

∵， ，

∴平面

∴，

在等腰直角中，∵是邊的中點(diǎn)

∴，

∵

∴平面．

（2）解：在底面內(nèi)過點(diǎn)作直線， ，∵平面，

以， ， 所在直線分別為， ， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∴， ， ， ， ，

∴，

∴，

∵平面

∴是平面的一個(gè)法向量，

∵是線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（），

∴，∴，∴，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

∴∴

取， ，∴

設(shè)二面角大小為，

∴

∴，此時(shí)二面角是鈍二面角，符合題意，此時(shí)．