Question

【題目】如圖，已知橢圓經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)在第三象限），線段的中點(diǎn)在直線上．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)且直線分別交直線于兩點(diǎn)，問(wèn)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程就可求得方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，BC中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，兩方程聯(lián)立可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，同理用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示。再求為定值，所以。

試題解析：（Ⅰ）由點(diǎn)在橢圓上，得解得所以橢圓的方程為………………………3分

由已知，求得直線的方程為從而（1）

又點(diǎn)在橢圓上，故（2）

由（1）（2）解得（舍去）或從而

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………………………6分

（Ⅱ）設(shè)

因三點(diǎn)共線，故整理得

因三點(diǎn)共線，故整理得……………10分

因點(diǎn)在橢圓上，故，即

從而

所以為定值． ………………………15分