Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(2)若，當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)求得的導(dǎo)數(shù)，，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；

(2)由，當時，只需，

故只需證明當時，，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

(1)由題意，函數(shù)的定義域為，則，

方程的判別式.

(ⅰ)若，即，在的定義域內(nèi)，故單調(diào)遞增．

(ⅱ)若，則或.

若，則，.

當時，，當時，，

所以單調(diào)遞增．

若，單調(diào)遞增．

(ⅲ)若 ，即或，

則有兩個不同的實根，

當時，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點，

故單調(diào)遞增．

當時，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，

即在定義域上不單調(diào)．綜上：實數(shù)的取值范圍為.

(2)因為，

當，時，，

故只需證明當時，.

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，故在上有唯一實根，且，

當時，，當時，，

從而當 時，)取得最小值．

由得，即，

故，

所以.

綜上，當時，.