Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)存在極小值點，且，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 分兩種情況分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)存在極小值點，所以在上存在兩個零點， ，設為函數(shù)的極小值點，由，得，所以可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，所以其定義域為.

所以 .

當時， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當時， .

當時， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當時， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上可知，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）因為 ，

所以 （）.

因為函數(shù)存在極小值點，所以在上存在兩個零點， ，且.

即方程的兩個根為， ，且，

所以，解得.

則 .

當或時， ，當時， ，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為與，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以為函數(shù)的極小值點.

由，得.

由于等價于.

由，得，所以.

因為，所以有，即.

因為，所以.

解得.

所以實數(shù)的取值范圍為.