Question

【題目】點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，有如下三個(gè)結(jié)論：

①若，則點(diǎn)為的______；

②若，則點(diǎn)為的______；

③若，則點(diǎn)為的______.

回答以下兩個(gè)小問(wèn)：

（1）請(qǐng)你從以下四個(gè)選項(xiàng)中分別選出一項(xiàng)，填在相應(yīng)的橫線上.

A. 重心 B. 外心 C. 內(nèi)心 D. 垂心

（2）請(qǐng)你證明結(jié)論②.

Answer 1

【答案】(1)①重心;②內(nèi)心;③外心. (2)證明見解析.

【解析】

(1)對(duì)①,化為分析即可.

對(duì)②,通過(guò)運(yùn)算證明即可證明點(diǎn)在的角平分線上,同理可證點(diǎn)在的角平分線上即可.

對(duì)③,先證明點(diǎn)為平面上一點(diǎn),則滿足,不全為0的點(diǎn)是唯一的,再論證當(dāng)為外心時(shí)滿足即可.

(1)對(duì)①,因?yàn)?/span>,故,取中點(diǎn)為,

則,故在邊的中線上.同理在邊的中線上,故為的重心.

對(duì)②,同解析(2).

對(duì)③,先證明點(diǎn)為平面上一點(diǎn),則滿足,不全為0的點(diǎn)是唯一的.

證明：假設(shè)還有一點(diǎn)滿足,則有,即

,故,此時(shí)重合.

所以點(diǎn)是唯一的.

再證若為外心時(shí), .

證明：因?yàn)?/span>

所以設(shè)的外接圓半徑為則

即.

綜上所述, 為外心.

(2)對(duì),由正弦定理有.

故,故.

即

故,故在 的角平分線上,同理可證點(diǎn)在 的角平分線上.故為的內(nèi)心.