Question

（本小題滿分14分）如圖，三棱錐A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形。
（Ⅰ）求證：DM//平面APC；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面APC；
（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱錐D—BCM的體積.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）略
（Ⅲ）V_D-BCM=V_M-BCD=

解：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，
∴MD//AP，  又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC ……………3分
（Ⅱ）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點。
∴MD⊥PB
又由（Ⅰ）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB
又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，  又∵AC⊥BC
∴BC⊥平面APC，      ……………8分
（Ⅲ）∵AB=20
∴MB="10   " ∴PB=10
又BC=4，
∴
又MD
∴V_D-BCM=V_M-BCD=………………12分