Question

【題目】已知拋物線C：y2=4x 的焦點(diǎn)為F．
（1）點(diǎn)A，P滿足 ．當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（xA，yA），則 ，

因?yàn)镕的坐標(biāo)為（1，0），所以 ，

由 ，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）．

即 ，解得

代入y2=4x，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8﹣4x．

（2）解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，0）．點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（x，y），

則 ，解得 ．

若Q′在C上，將Q′的坐標(biāo)代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或 ．

所以存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（0，0）和（ ）．

【解析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P和A的坐標(biāo)，求出拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由 得出P點(diǎn)和A點(diǎn)的關(guān)系，由代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，在設(shè)出其關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo)，由斜率關(guān)系及中點(diǎn)在y=2x上得到兩對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由點(diǎn)Q′在拋物線上，把其坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．