Question

【題目】設(shè)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到軸的距離是．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)在拋物線上是否存在不與原點重合的點P，使得過點P的直線交拋物線于另一點Q，滿足，且直線PQ與拋物線在點P處的切線垂直？并請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）先由拋物線的定義得到再根據(jù)AB的中點到軸的距離是得到即得p的值.(2)先假設(shè)，再根據(jù)，且直線PQ與拋物線在點P處的切線垂直求出點P的坐標(biāo).

詳解：（1）設(shè)拋物線的方程是，

由拋物線定義可知

又AB中點到x軸的距離為3，∴∴p＝2，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(2)設(shè)，則在P處的切線方程是，

直線PQ:代入得，

故

所以,

而

所以，

得，所以，

故存在點滿足題意.