Question

已知銳角三角形△ABC內(nèi)角A、B、C對應邊分別為a，b，c．tanA=

3 bc

b2+c2-a2

．
（Ⅰ）求A的大�。�
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出b²+c²-a²=2bccosA，代入tanA=

3 bc

b2+c2-a2

即可得到sinA的值，然后根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的大小；
（Ⅱ）由三角形為銳角三角形且由（Ⅰ）得到A的度數(shù)可知B+C的度數(shù)，利用C表示出B并求出B的范圍，代入所求的式子中，利用兩角差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)為sin（B+

π

6

），然后根據(jù)求出的B的范圍求出B+

π

6

的范圍，根據(jù)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象即可求出sin（B+

π

6

）的范圍即為cosB+cosC的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，
∴tanA=

3

2cosA

?sinA=

3

2

，
∵A∈(0，

π

2

)，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵△ABC為銳角三角形，且B+C=

2π

3

，
∴

π

6

＜B=

2π

3

-C＜

π

2

，
∴cosB+cosC=cosB+cos(

2π

3

-B)
=cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB
=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin(B+

π

6

)，
∵

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，
即cosB+cosC的取值范圍是(

3

2

，1]．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值，是一道綜合題．