Question

（2012•房山區(qū)二模）已知定點(diǎn)M（1，2），點(diǎn)P和Q分別是在直線(xiàn)l：y=x-1和y軸上動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△MPQ的周長(zhǎng)最小值時(shí)，△MPQ的面積是（　　）

• A．

  4

  5

• B．

  5

  6

• C．1
• D．

  2 3

  5

Answer 1

分析：作出M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁，關(guān)于y=x-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₂，連接M₁M₂，與y軸交于Q點(diǎn)，與y=x-1交于P點(diǎn)，連接MQ，MP，此時(shí)△MPQ的周長(zhǎng)最小，此時(shí)M₁（-1，2），利用對(duì)稱(chēng)性求出M₂坐標(biāo)，確定出直線(xiàn)直線(xiàn)M₁M₂的解析式，進(jìn)而確定出P與Q坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出M到直線(xiàn)M₁M₂的距離d，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PQ|的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出即可．

解答：解：作出M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₁，關(guān)于y=x-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M₂，連接M₁M₂，與y軸交于Q點(diǎn)，與y=x-1交于P點(diǎn)，連接MQ，MP，此時(shí)△MPQ的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)M₁（-1，2），
∵直線(xiàn)MM₂與y=x-1垂直，且y=x-1的斜率為1，
∴設(shè)直線(xiàn)MM₂解析式為y=-x+b，
將M（1，2）代入得：2=-1+b，即b=3，
∴直線(xiàn)MM₂解析式為y=-x+3，
與y=x-1聯(lián)立得到A（2，1），
∴M₂（3，0），
∴直線(xiàn)M₁M₂解析式為y-2=-

1

2

（x+1），即x+2y-3=0，
令x=0，得到y(tǒng)=

3

2

，即Q（0，

3

2

），
聯(lián)立直線(xiàn)M₁M₂解析式與y=x-1求得P（

5

3

，

2

3

），
∵M(jìn)到直線(xiàn)M₁M₂的距離d=

1+4-3

5

=

2 5

5

，|PQ|=

(0- 5 3 )2+( 3 2 - 2 3 )2

=

5 5

6

，
則S_△MPQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

2 5

5

×

5 5

6

=

5

6

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)的一般式方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，兩點(diǎn)間的距離公式，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，作出相應(yīng)的圖形，找出滿(mǎn)足題意P與Q的位置是解本題的關(guān)鍵．