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          【題目】如圖，要利用一半徑為的圓形紙片制作三棱錐形包裝盒.已知該紙片的圓心為，先以為中心作邊長為（單位：）的等邊三角形，再分別在圓上取三個點，，，使，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合于點，即可得到正三棱錐.
           
          （1）若三棱錐是正四面體，求的值；
          （2）求三棱錐的體積的最大值，并指出相應的值.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          【答案】（1）（2）最大值為，此時.
          【解析】
          （1）因為三棱錐是正四面體，所以是正三角形，連結，交于點，連結，算出，由即可得到答案；
          （2）易得，設函數(shù)，利用導數(shù)求得的最大值即可得到體積的最大值.
          （1）連結，交于點，連結，
          在中，， ，
          則.
          因為三棱錐是正四面體，
          所以是正三角形，
          所以，即，解得.
           
          （2）在中，，，
          所以高.
          由可得，.
          所以三棱錐的體積
          .
          設函數(shù)，，
          則.
          令得，.列表如下：
          0
          極大值
          所以在時取最大值，
          所以.
          所以，所以.
          所以三棱錐體積的最大值為，此時.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】陽馬和鱉臑（bienao）是《九章算術·商功》里對兩種錐體的稱謂.如圖所示，取一個長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個模一樣的三棱柱，稱為塹堵（如圖）.再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，有一棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬（四棱錐）余下三棱錐稱為鱉臑（三棱錐）若將某長方體沿上述切割方法得到一個陽馬一個鱉臑，且該陽馬的正視圖和鱉臑的側視圖如圖所示，則可求出該陽馬和鱉臑的表面積之和為（ ）
          A.B.
          C.D.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】為了解某中學學生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況，調查部門在該校進行了一次問卷調查（共12道題），從該校學生中隨機抽取40人，統(tǒng)計了每人答對的題數(shù)，將統(tǒng)計結果分成，，，，，六組，得到如下頻率分布直方圖.
          （1）若答對一題得10分，未答對不得分，估計這40人的成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
          （2）若從答對題數(shù)在內的學生中隨機抽取2人，求恰有1人答對題數(shù)在內的概率.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】2019年4月10日21時整，全球六地（上海和臺北、布魯塞爾、圣地亞哥、東京和華盛頓同時召開新聞發(fā)布會，宣布人類首次利用虛擬射電望遠鏡，成功捕獲世界上首張黑洞圖像，公布的照片展示了一個中心為黑色的明亮環(huán)狀結構，看上去有點像個橙色的甜甜圈，其黑色部分是黑洞投下的“陰影”，明亮部分是繞黑洞高速旋轉的吸積盤.某同學作了一張黑洞示意圖，如圖所示，由兩個同心圓和半個同心圓環(huán)構成圓及圓環(huán)的半徑從內到外依次為2，3，4，5個單位在圖中隨機任取一點，則該點取自陰影的概率為（ ）
          A.B.C.D.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
          在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程．
          （1）若曲線與只有一個公共點，求的值；
          （2）為曲線上的兩點，且，求的面積最大值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】改革開放40多年來，城鄉(xiāng)居民生活從解決溫飽的物質需求為主逐漸轉變到更多元化的精神追求，消費結構明顯優(yōu)化.下圖給出了1983~2017年部分年份我國農村居民人均生活消費支出與恩格爾系數(shù)（恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重）統(tǒng)計圖.對所列年份進行分析，則下列結論錯誤的是（ ）
          A.農村居民人均生活消費支出呈增長趨勢
          B.農村居民人均食品支出總額呈增長趨勢
          C.2011年至2015年農村居民人均生活消費支出增長最快
          D.2015年到2017年農村居民人均生活消費支出增長比率大于人均食品支出總額增長比率
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】為實現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結合某貧困村水質優(yōu)良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立.
          （1）試驗時從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
          （2）試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=，BC=AA1=2，O，M分別為BC，AA1的中點.
          （1）求證：OM∥平面CB1A1；
          （2）求點M到平面CB1A1的距離.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】已知函數(shù)．
          （1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)a的值；
          （2）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
          （3）當時，若方程有兩個相異實根，，，求證．
          

			
          

			
          
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