Question

橢圓： 的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線,使與橢圓有且只有一個公共點，設直線的斜率分別為。若，試證明為定值，并求出這個定值。

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）  （Ⅲ）

（Ⅰ）設，過且垂直于軸的直線與橢圓相交，則其中的一個交點坐標為，由題意可得解得，
所以橢圓的方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知則
由橢圓定義得
因為平分，
所以

所以，
另解：由題意可知：=,=,
設其中，將向量坐標代入并化簡得
，因為，
所以，而，所以.
（Ⅲ）因為與橢圓有且只有一個公共點，則點為切點，設
.
設與聯立得，
由得，
所以

另解：由題意可知，為橢圓的在點處的切線，由導數法可求得，切線方程，
所以，而，代入中得
為定值.
【考點定位】本題通過橢圓的離心率、焦點、弦長、定義等基本知識來考查運算能力、推理論證能力。第一問較為簡單，通過三者的固有關系確定橢圓方程為.第二問處理方式很多，可利用角平分線性質定理尋找線段間的比例關系、可利用點到直線的距離相等來確定的取值范圍，但要注意直線斜率不存在的情形的說明.第三問中的直線的方程設法很多，也是決定運算量大小的關鍵，如果設為，則會出現，其運算強度較大，而設為可通過得到關系式，大大簡化了運算.