Question

如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、．點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；
（ii）問直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)橢圓的方程以及斜率公式來得到求解。
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或  

試題分析：（i）.橢圓方程為，、 設(shè)
則，，      2分
（ii）記A、B、C、D坐標(biāo)分別為、、、
設(shè)直線：    ：
聯(lián)立可得              4分

，代入，可得
                            6分
同理，聯(lián)立和橢圓方程，可得             7分
由及（由（i）得）可解得，或，所以直線方程為或，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或                      10分
點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及運(yùn)用韋達(dá)定理求解斜率和，進(jìn)而得到直線的方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，屬于中檔題。