Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-4x，g（x）=-x²-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）h（x）=alnx+x²-4x+3，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx-4x，
∴f′（x）=

a

x

-4，…（1分）
∴f′（1）=a-4，…（2分）
故切線方程為y=（a-4）x-a；                           …（4分）
（Ⅱ）h（x）=alnx+x²-4x+3，
∴h′（x）=

2x2-4x+a

x

，…（5分）
①若△=16-8a≤0，即a≥2，則h′（x）≥0，
則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又h（1）=0，不符舍去．       …（7分）
②若△＞0，則a＜2，
令h′（x）＞0得x＞1+

4-2a

2

，令h′（x）＜0得0＜x＜1+

4-2a

2

，
則h（x）在（0，1+

4-2a

2

）上單調(diào)遞減，在（1+

4-2a

2

，+∞）單調(diào)遞增，…（9分）
又h（1）=0，則必有h（e）＜0，…（10分）
即a+e²-4e+3＜0，
∴a＜-e²+4e-3．                                     …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．