Question

13、對于任意實(shí)數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)，這個(gè)函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=

857

．

Answer 1

分析：由題意知[log₃1]+[log₃2]=0，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2…，所以[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．

解答：解：由題意可知：設(shè)[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b為整數(shù)
a=3^b+x，0≤x＜1，
因?yàn)閥=3^x為單調(diào)增函數(shù)
當(dāng)a在[1，2]時(shí)
因?yàn)?⁰=1，3¹=3
則0＜b+x＜1
所以b=0時(shí)，[log₃1]+[log₃2]=0
當(dāng)a在[3，8]時(shí)
同理1＜b+x＜2
b=1時(shí)，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1
b=2時(shí)，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2．
b=3時(shí)，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3．
b=4時(shí)，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃242]=4．
b=5時(shí)，[log₃243]=5．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算法則，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，同時(shí)要注意總結(jié)規(guī)律．