Question

【題目】在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2） 若，直線交曲線于、兩點(diǎn)（點(diǎn)、與點(diǎn)不重合），且滿足.為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) . (2).

【解析】試題分析：

（1）由相關(guān)點(diǎn)法得到M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=（2）聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)條件結(jié)合韋達(dá)定理得到，， ，進(jìn)而求得范圍.

解析：

(1) 設(shè)M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=y0,代入圓方程有.

即為N點(diǎn)的軌跡方程.

(2)當(dāng)直線垂直于軸時(shí),由消去整理得,

解得或,此時(shí),直線的斜率為；

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè),直線:(),

由,消去整理得,

依題意,即(*),

且,,

又,所以

,

所以,即,解得滿足(*),

所以 ,故,

故直線的斜率 ,

當(dāng)時(shí),,此時(shí)；

當(dāng)時(shí),,此時(shí)；

綜上,直線的斜率的取值范圍為.