設(shè)函數(shù)

,

是定義域為R上的奇函數(shù).
(1)求

的值,并證明當(dāng)

時,函數(shù)

是R上的增函數(shù);
(2)已知

,函數(shù)

,

,求

的值域;
(3)若

,試問是否存在正整數(shù)

,使得

對

恒成立?若存在,請求出所有的正整數(shù)

;若不存在,請說明理由.
(1)如下(2)

(3)存在正整數(shù)

=3或4
試題分析:解:(1)

是定義域為R上的奇函數(shù),

,得

.
此時,

,

,即

是R上的奇函數(shù).
設(shè)

,則

,

,

,

,

在R上為增函數(shù).
(2)

,即

,

或

(舍去),
令

,由(1)知

在[1,2]上為增函數(shù),∴

,

,
當(dāng)

時,

有最大值

;當(dāng)

時,

有最小值

,
∴

的值域

.
(3)

=

,

,
假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)

,則

,
①當(dāng)

時,

.
②當(dāng)

時,

,則

,令

,則

,易證

在

上是增函數(shù),∴

.
③當(dāng)

時,

,則

,令

,則

,易證

在

上是減函數(shù),∴

.
綜上所述,

,∵

是正整數(shù),∴

=3或4.
∴存在正整數(shù)

=3或4,使得

對

恒成立.
點評:本題難度較大。函數(shù)的單調(diào)性對求最值、判斷函數(shù)值大小關(guān)系和證明不等式都有較大幫助,而求函數(shù)的單調(diào)性有時可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,

,

(Ⅰ)若曲線

與曲線

相交,且在交點處有相同的切線,求

的值及該切線的方程;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)

,當(dāng)

存在最小值時,求其最小值

的解析式;
(Ⅲ)對(Ⅱ)中的

,證明:當(dāng)

時,

.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
若存在實常數(shù)

和

,使得函數(shù)

和

對其定義域上的任意實數(shù)

分別滿足:

和

,則稱直線

為

和

的“隔離直線”.已知

,

為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求

的極值;
(Ⅱ)函數(shù)

和

是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)

為奇函數(shù),

為常數(shù),
(1)求

的值;
(2)證明

在區(qū)間

上單調(diào)遞增;
(3)若

,不等式

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

是偶函數(shù),

,
(1)求

的值;(2)當(dāng)

時,求

的解集;
(3)若函數(shù)

的圖象總在

的圖象上方,求實數(shù)

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,

.
(Ⅰ)解方程:

;
(Ⅱ)設(shè)

,求函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值

的表達(dá)式;
(Ⅲ)若

,

,求

的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
當(dāng)

時,冪函數(shù)

為減函數(shù),求實數(shù)

的值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

(1)當(dāng)

時,如果函數(shù)

僅有一個零點,求實數(shù)

的取值范圍.
(2)當(dāng)

時,比較

與1的大小.
(3)求證:

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