Question

若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數(shù)的底數(shù))．
（Ⅰ）求的極值；
（Ⅱ）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）當時，取極小值，其極小值為．
（Ⅱ）函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

試題分析：（Ⅰ） ，
．                      2分
當時，．
當時，，此時函數(shù)遞減；            3分
當時，，此時函數(shù)遞增；          4分
∴當時，取極小值，其極小值為．            5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點． 可設隔離直線的斜率為，則直線方程為：，即．                                
由 ，可得，當時恒成立．
，     由，得．             6分
下面證明 ，當時恒成立．
令，則
，
當時，．                 8分
當時，，此時函數(shù)遞增；
當時，，此時函數(shù)遞減；
∴當時，取極大值，其極大值為．             10分
從而 ，即 恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．            12分
點評：中檔題，曲線切線的斜率，等于函數(shù)在切點的導函數(shù)值。本題涉及“新定義”及存在性探究問題，在理解“新定義”的基礎上，將存在性問題的探究，轉化成函數(shù)不等式恒成立問題，從而通過構造函數(shù)、研究函數(shù)的單調性、明確函數(shù)的極值，達到解題目的。