Question

【題目】為了提升學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)，某校數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)小組指導(dǎo)老師給學(xué)生布置了一項(xiàng)探究任務(wù)：如圖，有一張邊長(zhǎng)為27cm的等邊三角形紙片ABC，從中裁出等邊三角形紙片作為底面，從剩余梯形中裁出三個(gè)全等的矩形作為側(cè)面，圍成一個(gè)無(wú)蓋的三棱柱（不計(jì)損耗）．

（1）若三棱柱的側(cè)面積等于底面積，求此三棱柱的底面邊長(zhǎng)；

（2）當(dāng)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為何值時(shí)，三棱柱的體積最大？

Answer 1

【答案】（1）18cm（2）18cm

【解析】

(1) 設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為,再根據(jù)三角形中的關(guān)系表達(dá)出底面積和與側(cè)面積的關(guān)系式再解方程即可.

(2)同(1)可知,再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性求最大值即可.

設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為,即,

則.

因?yàn)?/span>為等邊三角形,

所以三棱柱的高為.

（1）因?yàn)槿�棱柱的底面積為,

側(cè)面積為,

所以,

解得或（舍去）.

即三棱柱的底面邊長(zhǎng)為18cm.

（2）三棱柱的體積.

因?yàn)?/span>,,

所以.

因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí),取到極大值,也是最大值,

.

即當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為18cm時(shí),三棱柱的體積最大,為.