【題目】已知函數(shù)
， 
．
（Ⅰ）求曲線
在點
處的切線的斜率；
（Ⅱ）判斷方程
（
為
的導數(shù)）在區(qū)間
內(nèi)的根的個數(shù)，說明理由；
（Ⅲ）若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點，求
的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析（Ⅲ）
【解析】試題分析：（Ⅰ）求導
.根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得. 
（Ⅱ）設
， 
.
由
的單調(diào)性及因為
， 
,可知有且只有一個
，使
成立.即方程
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.
（Ⅲ）若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點，由于
，即
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
，且
在
兩側(cè)異號.
由
的單調(diào)性可知函數(shù)
在
處取得極大值
.
當
時，雖然函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
，但
在
兩側(cè)同號，不滿足
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點的要求.
若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
，且
在
兩側(cè)異號，
則只需滿足： 
.即可得到
的取值范圍
試題解析：
（Ⅰ）
. 
.
（Ⅱ）設
， 
.
當
時， 
，則函數(shù)
為減函數(shù).
又因為
， 
,
所以有且只有一個
，使
成立.
所以函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點，即方程
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.
（Ⅲ）若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點，由于
，即
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
，且
在
兩側(cè)異號.
因為當
時，函數(shù)
為減函數(shù)，所以在
上， 
，即
成立，函數(shù)
為增函數(shù)；
在
上， 
，即
成立，函數(shù)
為減函數(shù).
則函數(shù)
在
處取得極大值
.
當
時，雖然函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
，但
在
兩側(cè)同號，不滿足
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點的要求.
由于
，顯然
.
若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
，且
在
兩側(cè)異號，
則只需滿足：
.即
，解得
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
是菱形， 
與
交于點
， 
底面
，點
為
中點， 
.
（1）求直線
與
所成角的余弦值；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我們可以用隨機模擬的方法估計
的值，如圖程序框圖表示其基本步驟（函數(shù)
是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù)，它能隨機產(chǎn)生
內(nèi)的任何一個實數(shù)）．若輸出的結(jié)果為
，則由此可估計的近似值為（ ）
A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨機將1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個數(shù)．A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
(1)當n＝3時，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
(2)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)；
(3)對(2)中的事件C， 
表示C的對立事件，判斷P(C)和P(
)的大小關系，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）當
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意
都有
成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）若過點
可作函數(shù)
圖象的三條不同切線，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面角坐標系
中，以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，將曲線
向左平移
個單位長度得到曲線
.
（1）求曲線
的參數(shù)方程；
（2）已知
為曲線
上的動點， 
兩點的極坐標分別為
，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）若
，求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）證明當
時， 
；
（Ⅲ）若關于
的不等式
恒成立，求整數(shù)
的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點．
(1)求圓A的方程；
(2)當|MN|＝2
時，求直線l的方程．
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