Question

【題目】已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線(xiàn)l1：x＋2y＋7＝0相切．過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)．

(1)求圓A的方程；

(2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】（1）圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.（2）直線(xiàn)l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.

【解析】試題分析：（1）利用圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑求得 ；（2）先檢驗(yàn)當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí) 符合題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在是，設(shè)其方程為： ，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式，即可求得 ，從而求得另一條直線(xiàn).

試題解析：(1)設(shè)圓A的半徑為R.

由于圓A與直線(xiàn)l1：x＋2y＋7＝0相切，

∴R＝＝2.

∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意；

②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋2)．

即kx－y＋2k＝0.

連接AQ，則AQ⊥MN.

∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1，

則由|AQ|＝＝1，

得k＝，∴直線(xiàn)l：3x－4y＋6＝0.

故直線(xiàn)l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.