Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值，其中，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）求出，分三種情況討論： 時(shí)， ， 時(shí)，結(jié)合判別式及求根公式，令，求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）根據(jù)韋達(dá)定理可得， ， ， ，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得的最小值為，即的最小值為.

試題解析：（1）由題意得，其中，

令， ，

①當(dāng)時(shí)，令，得， ，

所以， 在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，令，得， ，且

可知當(dāng)時(shí)， ，

在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，

在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，

在單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；

當(dāng)， 在和單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減；

（2）由（1）知，

由題意知是的兩根，

∴， ，

可得，

∵，∴

令，

則有

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，

的最小值為

，即的最小值為.