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        1. (13分)(2011•湖北)設函數(shù)f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2﹣3x+2,其中x∈R,a、b為常數(shù),已知曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
          (Ⅰ) 求a、b的值,并寫出切線l的方程;
          (Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三個互不相同的實根0、x1、x2,其中x1<x2,且對任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

          (Ⅰ)x﹣y﹣2=0(Ⅱ)(﹣,0)

          解析試題分析:(I) 利用曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l,可得f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.即為關于a、b的方程,解方程即可.
          (II)把方程f(x)+g(x)=mx有三個互不相同的實根轉化為x1,x2是x2﹣3x+2﹣m=0的兩相異實根.求出實數(shù)m的取值范圍以及x1,x2與實數(shù)m的關系,再把f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立問題轉化為求函數(shù)f(x)+g(x)﹣mx在x∈[x1,x2]上的最大值,綜合在一起即可求出實數(shù)m的取值范圍.
          解:(I) f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x﹣3.
          由于曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
          故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
          由此得,解得,
          所以a=﹣2,b=5..切線的方程為x﹣y﹣2=0.
          (II)由(I)得f(x)=x3﹣4x2+5x﹣2,所以f(x)+g(x)=x3﹣3x2+2x.
          依題意,方程x(x2﹣3x+2﹣m)=0,有三個互不相等的實根0,x1,x2,
          故x1,x2是x2﹣3x+2﹣m=0的兩相異實根.
          所以△=9﹣4(2﹣m)>0,解得m>﹣
          又對任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,
          特別地取x=x1時,f(x1)+g(x1)<m(x1﹣1)成立,得m<0.
          由韋達定理得x1+x2=3>0,x1x2=2﹣m>0.故0<x1<x2
          對任意的x∈[x1,x2],x﹣x2≤0,x﹣x1≥0,x>0.
          則f(x)+g(x)﹣mx=x(x﹣x1)(x﹣x2)≤0,又f(x1)+g(x1)﹣mx1=0.
          所以f(x)+g(x)﹣mx在x∈[x1,x2]上的最大值為0.
          于是當m<0,對任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,
          綜上得:實數(shù)m的取值范圍是(﹣,0).
          點評:本題主要考查函數(shù),導數(shù),不等式等基礎知識,同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能立,以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想.

          練習冊系列答案
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          (1)求a的值及函數(shù)的單調區(qū)間.
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