Question

過(guò)拋物線P：y²=2x的焦點(diǎn)F的直線交P于A、B兩點(diǎn)，已知|AF|=4．
（1）求|BF|；
（2）求線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y²=2x，得p=1，其準(zhǔn)線方程為x=-，焦點(diǎn)F（，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由拋物線的定義可知，|AF|=x1+，|BF|=x2+，由|AF|=4，依次求出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案
（2）由（1）可得線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合梯形中位線等于上下兩底和的一半，可得線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．
解答：解：（1）由拋物線P的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=2x可得
其準(zhǔn)線方程為x=-，焦點(diǎn)F（，0）．
設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線AB，交P于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）點(diǎn)
則|AF|=x1+=4，解得x₁=，進(jìn)而y₁=±
當(dāng)y₁=時(shí)，直線AB的方程為：y=（x-）
代入y²=2x后整理得：
7x²-25x+=0，由韋達(dá)定理得x₁+x₂=，x₁•x₂=
解得x₂=
故|BF|=x₂+=
（2）由（1）得A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離x₁=，B點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為x₂=
則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為=
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．