Question

過拋物線P：y²=2x的焦點F的直線交P于A、B兩點，已知|AF|=4．
（1）求|BF|；
（2）求線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離．

Answer 1

分析：（1）由y²=2x，得p=1，其準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，焦點F（

1

2

，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由拋物線的定義可知，|AF|=x1+

1

2

，|BF|=x2+

1

2

，由|AF|=4，依次求出A，B點的坐標(biāo)可得答案
（2）由（1）可得線段AB的兩個端點到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合梯形中位線等于上下兩底和的一半，可得線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離．

解答：解：（1）由拋物線P的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=2x可得
其準(zhǔn)線方程為x=-

1

2

，焦點F（

1

2

，0）．
設(shè)過焦點F的直線AB，交P于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）點
則|AF|=x1+

1

2

=4，解得x₁=

7

2

，進而y₁=±

7

當(dāng)y₁=

7

時，直線AB的方程為：y=

7

3

（x-

1

2

）
代入y²=2x后整理得：
7x²-25x+

7

4

=0，由韋達定理得x₁+x₂=

25

7

，x₁•x₂=

1

4

解得x₂=

1

14

故|BF|=x₂+

1

2

=

4

7

（2）由（1）得A點到y(tǒng)軸的距離x₁=

7

2

，B點到y(tǒng)軸的距離為x₂=

1

14

則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為

x1+x2

2

=

25

14

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．