Question

若數列{a_n}是正項數列，且

a1

+

a2

+…+

an

=n²+3n（n∈N^*），則

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

=

 

．

Answer 1

分析：根據題意先可求的a₁，進而根據題設中的數列遞推式求得

a1

+

a2

+…+

an-1

=（n-1）²+3（n-1）與已知式相減即可求得數列{a_n}的通項公式，進而求得數列{

an

n+1

}的通項公式，可知是等差數列，進而根據等差數列的求和公式求得答案．

解答：解：令n=1，得

a1

=4，∴a₁=16．
當n≥2時，

a1

+

a2

+…+

an-1

=（n-1）²+3（n-1）．
與已知式相減，得

an

=（n²+3n）-（n-1）²-3（n-1）=2n+2，
∴a_n=4（n+1）²，n=1時，a₁適合a_n．
∴a_n=4（n+1）²，
∴

an

n+1

=4n+4，
∴

a1

2

+

a2

3

++

an

n+1

=

n(8+4n+4)

2

=2n²+6n．
故答案為2n²+6n

點評：本題主要考查了利用數列遞推式求數列的前n項和．解題的關鍵是求得數列{a_n}的通項公式．